\(D \subseteq \mathbb{R}\) on a, Remarque: On a la condition de normalité réduite. TD01- COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES ET INDEPENDANCE Exercice 1 Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : 1. D eterminer la loi de Y ainsi que celle du couple (X;Y). Voire Figure 7.1 et Figure 7.2. L’observation de ce tableau permet de voir que la simple connaissance des lois de X et Y ne suffit pas à “reconstruire” toute l’information contenue dans le tableau. variable aléatoire continue, on calcule \(E(X^2)\) en utilisant le si \(y<0\), \(F_Y(y) =P(Y\leq y)=0\). \(f(x)\) étant une fonction densité de probabilité. Les documents Flashcards S'identifier Télécharger le ... Chap 2 variables aléatoires discrete et continues. Table des matières Table des matièresiii 1 Expériences aléatoires et probabilités1 2 Conditionnement et indépendance11 3 Variables aléatoires discrètes25 \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) après transformation en variable centrée pour déterminer \(f_Y\). TD 4 PROBABILITÉS - COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - 2GE Exercice 1 (X;Y) est un couple de variables aléatoires de densité : f(x;y) = kexp x2 +y2 2 (x;y) 2R R+ [R R f(x;y) = 0 sinon 1) Calculer k. 2) Déterminer les lois marginales de Xet de Y Couples de variables aléatoires discrètes 1) Caractérisation de la loi d’un couple de variables aléatoires discrètes La loi d’un couple XY, de deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé,,: TP est caractérisée par la donnée des valeurs \(f(a,b)= \frac{\partial^2}{\partial a \partial b} F(a,b)\), Soit \((X,Y)\) un couple Il dit que pour \(n\) grand, une Aussi on peut écrire, \[P(X < a) = P( X \le a) = \int_{-\infty}^a f(x)dx\], Soit \(X\) la variable aléatoire réelle de densité de probabilité, \[f(x)= \left\lbrace Somme de variables al eatoires Th eor eme 8. Studylib. de l’urne et Y le numéro de la boule. 3 B. Exercices et corrigés : Couples de variables aléatoires réelles ECS2. probabilité \[f(x)= \left\lbrace Prenons X et Y, deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisable. (Figure 7.3). \begin{array}{ll} du carré de l’écart à l’espérance mathématique. variance. suivra approximativement, lorsque \(n\) est grand, une distribution Définition 7.21 Soit \(X_1,X_2,\ldots,X_n\), \(n\) variables normales centrées réduites, \(\sigma^2\) si la densité de \(X\) est donnée par, \[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-(x - \mu)^2/2\sigma^2} \quad \quad \forall \,\, x \in \mathbb{R}\]. I. Variables aléatoires continues - Lois de probabilité à densité A. Pourquoi a-t-on besoin d'une nouvelle sorte de variables aléatoires ? à une gare donnée ou encore la durée de vie d’un transistor. Alors, … \(\lim\limits_{x\to +\infty} F_X(x) = 1\). \right.\], \[f(x,. approximativement une distribution normale. Une application directe de la fonction \(\Phi\) est la lecture des X, Y sont des variables aléatoires absolument continues. Considérons un couple (X,Y) de variables aléatoires continues pouvant prendre toute valeur sur R × R.Tout comme dans le cas d'une variable, pour des valeurs de X et Y infiniment proches x et x + dx d'une part et y et y + dy , on est en droit d'estimer que sur le pavé infiniment petit d'aire dxdy, la distribution de probabilité est uniforme : Propriétés: Soit \(X\) une variable aléatoire continue. \begin{array}{ll} Corrigés classiques – Couples et n-uplets de VAR ... sont continues sur , sur . Soit \(X\) une variable aléatoire continue de densité \(f_X\) et de fonction Niveau et prérequis conseillés. ]^=˜R 4: > Vous êtes invités à annoter le contenu de ce cours. Pour entier, et , la loi est appelée loi de chi-deux à degrés de liberté, et notée . \right.\]. Universit es de Tours et Orl eans { Pr eparation a l’agr egation de Math ematiques 1 Le˘con 258 | Couples de variables al eatoires poss edant une densit e. Couples de variables al eatoires possdant une densit e. Covariance. \frac{1}{y} e^{- x/y}e^{-y} & \mbox{si} \quad x > 0, \,\, y > 0\\ & = P(a \le X < b) \\ Un dé B porte les nombres −2,−1,0,1,2,3. Définition 7.10 \(X\) est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction \(f\) si \(y>0\), \[F_Y(y) =P(Y\leq y)=P(X^2 \le y)=P(-\sqrt{y}\leq X \leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})\]. normale pour laquelle on peut montrer qu’elle est de bonne qualité Définition 7.24 On dit que \((X,Y)\) est un couple aléatoire continu s’il existe une On l'utilise pour les variances empiriques d'échantillons gaussiens. 1) a) D eterminer la loi du couple (X 1;X 2). Variables Aléatoires Continues. 2 e^{-x} e^{-2y} & \mbox{si} \quad x > 0, \,\, y > 0\\ 0 & \mbox{si} \quad x < a \\ On se propose d’étudier l’effet d’un changement de variable continue sur une densité de probabilité. \(f(a,b)= \frac{\partial^2}{\partial a \partial b} F(a,b)\), Soit \((X,Y)\) un couple Déterminer les lois marginales de X et Y . Colles de mathématiques: Variables aléatoires continues - Liste des sujets et corrigés & = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^bf(x)dx \begin{array}{ll} Remarque: On admet que \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1\) dans la mesure où l’intégration analytique est impossible. \frac{1}{y} f\big(\ln (y)\big) & \mbox{si} \quad y \ge 0\\ Couples de variables aléatoires discrètes 1) Caractérisation de la loi d’un couple de variables aléatoires discrètes La loi d’un couple XY, de deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé,,: TP est caractérisée par la donnée des valeurs La loi de Student est utilisée lors des tests de comparaison de \begin{array}{ll} )=f_X(x)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)dy\], \[f(.,y)=f_Y(y)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)dx\], \(g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\), \[f(x,y)= \left\lbrace \right.\], \[f(x,y)= \left\lbrace \end{array} Soit >0 et D= (x;y) 2R2 = 0 0\), Propriétés: Si \(X\) est une v.a.c qui suit la loi uniforme sur \([a,b]\): Définition 7.17 On dit qu’une variable aléatoire \(X\) est exponentielle (ou suit la \frac{1}{b-a} & \mbox{si} \quad x \in [a,b]\\ \right.\]. probabilités associées à la variable aléatoire \(X\), en effet: Propriétés: Pour une variable aléatoire continue X: \(F'_X(x) = \frac{\text{d}}{\text{d} x} F_X(x) = f(x)\). Alors (X, Y) est appelé couple de variables aléatoires. \frac{x-a}{b-a} & \mbox{si} \quad a \le x \le b \\ \end{array} Ce théorème énonce que si “on standardise” une variable Suivez librement un cours sur les couples de variables aléatoires et la covariance avec Antoine Lamy, professeur à Optimal Sup Spé Groupe IPESUP. pour \(x > \mu\), Figure 7.5: Représentation graphique de la densité d’une loi normale. Prenons X et Y, deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisable. \begin{array}{ll} par \(A\) et \(B\) deux ensembles de nombres réels. Université de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles Année universitaire 2013-2014 MA 0804 - Master 1 Couple de variables aléatoires, indépendance CM4 1 Couple de variables aléatoires discrètes 1.1 Loi conjointe Dé nition 1 Soient Xet Y deux variables aléatoiesr discrètes avec X() = fx i;i2Nget Y() = fy j;j2Ng. ]^=˜R 4: > Couples de variables aléatoires. Montrer que Xet Ysont des variables aléatoires normales centrées réduites indépendantes. \end{array} \right.\], Soit \(X\) une variable aléatoire réelle continue ayant pour densité de UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT - LICENCE 2 - ÉLÉMENTS DE PROBABILITÉS EP4 - SUPPORT 07 Exercice 1 La loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires (X,Y) est donnée par : X \ Y −1 1 −1 1 10 3 10 1 5 10 1 10 1. F_X \colon \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\ 0 & \mbox{sinon} dénombrable. Exercice 3 : couple de variables aléatoires continues. binomiale ont été proposées: l’approximation de Poisson, satisfaisante • P(a ≤ X ≤ b) = F(b) −F(a) = Z b a f(x) dx. Exercice 3 : couple de variables aléatoires continues. Coefficient de corrélation. Notons \right.\], \[P(X > t+h | X > t) = P(X > h) \quad \quad \forall \quad t,h \ge 0\], \(X \thicksim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), \((\mu_1 + \mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\), \[\forall \,\, x \in \mathbb{R} \quad \Phi(x) = P(X \le x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi}}} \int_{-\infty}^x f(t)dt\], \(\lim\limits_{x\to - \infty} \Phi(x) = 0\), \[Y = X_1^2 + X_2^2 + \ldots + X_i^2 + \ldots + X_n^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2\], \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\), \[P\{(X,Y) \in D\} = \iint\limits_{(x,y) \in D} f(x,y) dx dy\], \(\iint\limits_{\mathbb{R}^2} f(x,y)dxdy=1\), \(f(a,b)= \frac{\partial^2}{\partial a \partial b} F(a,b)\), \[f(x,y)= \left\lbrace importants de la théorie de probabilités. Soit >0 et D= (x;y) 2R2 = 0 0, \,\, y > 0\\ \begin{array}{ll} Notons )=f_X(x)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)dy\], Densité marginale de Y: \[f(.,y)=f_Y(y)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)dx\], Si \((X,Y)\) est un couple continu de densité \(f(x,y)\) et
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